Conoscete Il Paradosso Di Monty Hall?

[blackbombay]

Semplicemente,se io scelgo una,le altre due hanno probabilità 66 di vincere.
Poichè conduttore non toglie una a caso ma la perdente ,resta sempre il 66 di vincere.

[AlbertoA]

Andrea, quella delle 3 facce e poi due è quello che pensavo all'inizio, ma devi pensare che la porta che hai scelto aveva 1 probabilità su 3 di veincere e se la porta fino alla fine. L'altra alternativa quindi ne ha il 66!
Anche se sono solo 2 scelte.

[proc]

Ottima sintesi quella di black e Alberto.

In altre parole cambiando porta perdo solo se avevo beccato la holtey al primo colpo (1/3). La prob. di vincere cambiando quindi è 1-1/3=2/3.

P

[Andrea]

Andrea, quella delle 3 facce e poi due è quello che pensavo all'inizio, ma devi pensare che la porta che hai scelto aveva 1 probabilità su 3 di veincere e se la porta fino alla fine.

Perchè te la porti fino alla fine?
Se fai 10 lanci di monetine, le probabilità dell'ultimo lancio sono forse influenzate dai 9 lanci precedenti?
Se lanci un dado e poi lanci una monetina, le probabilità della monetina sono forse influenzate dalle probabilità del dado?

[grimgor]

Provatela a vedere così:

quando inizialmente scegliete una delle tre porte, avete una possibilità su tre che prendiate quella giusta. Ora, se dividete in due gruppi le porte (un gruppo formato dalla sola porta che avete scelto voi, un secondo gruppo formato dalle due porte rimanenti), concorderete con me che la probabilità di vincita è più alta nel gruppo delle porte da voi non scelte. Ciò non vuol dire che la vostra non sia la vincente, ma che la probabilità che la vostra porta sia vincente è più bassa rispetto al fatto che la porta vincente si trovi tra una delle due che non avete scelto.
Ora, essendo questi due gruppi diversi e isolati, il vostro gruppo (quello con la porta che avete scelto voi) ha il 33% di possibilità di vittoria; il gruppo del presentatore (quello con le due porte che non avete scelto voi) ha il 66% di possibilità di vittoria. Se viene tolta una porta dal secondo gruppo (che globalmente ha il 66% di possibilità di vittoria), la probabilità di vittoria rimarrà invariata all'interno del gruppo, nonostante sia variato il numero di porte che esso contenga: ciò vuol dire che se anche una porta viene a mancare, la percentuale del gruppo del conduttore rimane la solita (perchè i due gruppi sono isolati) e quindi la porta che rimane ha il 66% di vittoria contro la vostra che ha il 33%!


Seguendo il vostro ragionamento arriveremo ad un paradosso evidentissimo:

immaginiamo di avere davanti a noi 1000 porte di cui una sola vincente. Se voi ne scegliete una, avrete lo 0.1% di possibilità di vittoria, mentre il gruppo di porte rimanente avrà globalmente il 99.9% di possibilità di vincere. Se il conduttore eliminasse volta volta una porta fino ad arrivare sino a due porte soltanto (la vostra ed un'altra), secondo voi avrebbero entrambe il 50% di possibilità di essere quella vincente. Ma in questo caso è decisamente lampante che voi avete una possibilità su 1000 di aver preso la porta giusta, mentre l'altra porta è stata "selezionata" dal conduttore in un gruppo isolato che fa si che l'intera probabilità di vittoria ricada su quella stessa porta.
Converrete con me che sarebbe totalmente illogico non cambiare la porta all'ultimo round!!!
Stessa cosa (ma semplificata e con probabilità più livellate) accade con 3 porte.


Diciamo che ho applicato un principio di induzione al contrario.

[proc]

Provatela a vedere così:

quando inizialmente scegliete una delle tre porte, avete una possibilità su tre che prendiate quella giusta. Ora, se dividete in due gruppi le porte (un gruppo formato dalla sola porta che avete scelto voi, un secondo gruppo formato dalle due porte rimanenti), concorderete con me che la probabilità di vincita è più alta nel gruppo delle porte da voi non scelte. Ciò non vuol dire che la vostra non sia la vincente, ma che la probabilità che la vostra porta sia vincente è più bassa rispetto al fatto che la porta vincente si trovi tra una delle due che non avete scelto.
Ora, essendo questi due gruppi diversi e isolati, il vostro gruppo (quello con la porta che avete scelto voi) ha il 33% di possibilità di vittoria; il gruppo del presentatore (quello con le due porte che non avete scelto voi) ha il 66% di possibilità di vittoria. Se viene tolta una porta dal secondo gruppo (che globalmente ha il 66% di possibilità di vittoria), la probabilità di vittoria rimarrà invariata all'interno del gruppo, nonostante sia variato il numero di porte che esso contenga: ciò vuol dire che se anche una porta viene a mancare, la percentuale del gruppo del conduttore rimane la solita (perchè i due gruppi sono isolati) e quindi la porta che rimane ha il 66% di vittoria contro la vostra che ha il 33%!


Seguendo il vostro ragionamento arriveremo ad un paradosso evidentissimo:

immaginiamo di avere davanti a noi 1000 porte di cui una sola vincente. Se voi ne scegliete una, avrete lo 0.1% di possibilità di vittoria, mentre il gruppo di porte rimanente avrà globalmente il 99.9% di possibilità di vincere. Se il conduttore eliminasse volta volta una porta fino ad arrivare sino a due porte soltanto (la vostra ed un'altra), secondo voi avrebbero entrambe il 50% di possibilità di essere quella vincente. Ma in questo caso è decisamente lampante che voi avete una possibilità su 1000 di aver preso la porta giusta, mentre l'altra porta è stata "selezionata" dal conduttore in un gruppo isolato che fa si che l'intera probabilità di vittoria ricada su quella stessa porta.
Converrete con me che sarebbe totalmente illogico non cambiare la porta all'ultimo round!!!
Stessa cosa (ma semplificata e con probabilità più livellate) accade con 3 porte.


Diciamo che ho applicato un principio di induzione al contrario.

Quoto

[ser gio]

Provatela a vedere così:

quando inizialmente scegliete una delle tre porte, avete una possibilità su tre che prendiate quella giusta. Ora, se dividete in due gruppi le porte (un gruppo formato dalla sola porta che avete scelto voi, un secondo gruppo formato dalle due porte rimanenti), concorderete con me che la probabilità di vincita è più alta nel gruppo delle porte da voi non scelte. Ciò non vuol dire che la vostra non sia la vincente, ma che la probabilità che la vostra porta sia vincente è più bassa rispetto al fatto che la porta vincente si trovi tra una delle due che non avete scelto.
Ora, essendo questi due gruppi diversi e isolati, il vostro gruppo (quello con la porta che avete scelto voi) ha il 33% di possibilità di vittoria; il gruppo del presentatore (quello con le due porte che non avete scelto voi) ha il 66% di possibilità di vittoria. Se viene tolta una porta dal secondo gruppo (che globalmente ha il 66% di possibilità di vittoria), la probabilità di vittoria rimarrà invariata all'interno del gruppo, nonostante sia variato il numero di porte che esso contenga: ciò vuol dire che se anche una porta viene a mancare, la percentuale del gruppo del conduttore rimane la solita (perchè i due gruppi sono isolati) e quindi la porta che rimane ha il 66% di vittoria contro la vostra che ha il 33%!


Seguendo il vostro ragionamento arriveremo ad un paradosso evidentissimo:

immaginiamo di avere davanti a noi 1000 porte di cui una sola vincente. Se voi ne scegliete una, avrete lo 0.1% di possibilità di vittoria, mentre il gruppo di porte rimanente avrà globalmente il 99.9% di possibilità di vincere. Se il conduttore eliminasse volta volta una porta fino ad arrivare sino a due porte soltanto (la vostra ed un'altra), secondo voi avrebbero entrambe il 50% di possibilità di essere quella vincente. Ma in questo caso è decisamente lampante che voi avete una possibilità su 1000 di aver preso la porta giusta, mentre l'altra porta è stata "selezionata" dal conduttore in un gruppo isolato che fa si che l'intera probabilità di vittoria ricada su quella stessa porta.
Converrete con me che sarebbe totalmente illogico non cambiare la porta all'ultimo round!!!
Stessa cosa (ma semplificata e con probabilità più livellate) accade con 3 porte.


Diciamo che ho applicato un principio di induzione al contrario.

Quoto

Intrigante questa discussione grazie a tutti, pensando a entrambe le soluzioni, sembrano corrette tutte e due.. ma l'esempio ultimo di Grimgor sembra far chiarezza definitivamente..

Sergio

[AlbertoA]

Domanda... se non le avesse scelte il presentatore ed aprendo la porta fosse stata quella perdente, allora sarebbe stato diverso... vero? Si sarebbe ad un 50 e 50 per cambio non cambio?

[grimgor]

Scusami Alberto ma non ho capito la domanda.

[AlbertoA]

Mi spiego meglio, abbiamo detto che io ne scelgo una, il presentatore sceglie volutamente una perdente... e poi chiede di cambiare.
Se invece di scegliere volutamente una perdente ne avesse presa una a caso delle due rimanenti (quindi anche con la possibilità di trovare quella vincente, ma che non trova nel mio caso) mi troverei in una situazione diversa, sempre con due porte... in questo caso penso che la probabilità sia a quel punto il 50% o sbaglio?

[Andrea]

Intrigante questa discussione grazie a tutti, pensando a entrambe le soluzioni, sembrano corrette tutte e due.. ma l'esempio ultimo di Grimgor sembra far chiarezza definitivamente..

Mi fa piacere che sia piaciuta anche ad altri.
Io l'ho trovata molto interessante perchè mi ha permesso di sviscerare quello che all'inizio era solo una sensazione.
Vedevo come un cerchio a cui mancava un pezzettino ed era una sensazione che mi lasciava insoddisfatto.
Solo discutendone ho trovato che l'inghippo era nell'enunciazione del problema e non nella sua dimostrazione.

Naturalmente io e Macigno abbiamo torto:
questo problema o dilemma che io tutt'ora definisco un falso paradosso o un paradosso illusorio è noto da 1 o 2 secoli ed ha passato il vaglio di chissà quanti matematici che hanno validato sia l'enunciazione che la dimostrazione.

E' vero che a volte, certe intuizioni arrivano anche da persone comuni con occhi disincantati (il re è nudo), ma io e Macigno non siamo certo dei Pierre de Fermat. :-)

Resta il fatto che nessuno ha ancora trovato una falla nel mio ragionamento (sicuramente c'è, ma non è ancora emersa).
Sicuramente le mie obiezioni sono già state enunciate, vagliate e scartate da altri, ma purtroppo non ho ancora avuto il tempo materiale di fare una ricerca approfondita in rete.
So che c'è un libro "L'illusione di sapere" in cui questo dilemma viene affrontato esaurientemente e riporta il caso di premi Nobel che "non si sono convinti".
Probabilmente il quel libro ci sno le risposte che cerco. Tra l'altro, forse dovrebbe averne una copia mio fratello, che me lo aveva prestato ma che non avevo mai letto. :-)

[Andrea]

Mi spiego meglio, abbiamo detto che io ne scelgo una, il presentatore sceglie volutamente una perdente... e poi chiede di cambiare.
Se invece di scegliere volutamente una perdente ne avesse presa una a caso delle due rimanenti (quindi anche con la possibilità di trovare quella vincente, ma che non trova nel mio caso) mi troverei in una situazione diversa, sempre con due porte... in questo caso penso che la probabilità sia a quel punto il 50% o sbaglio?

Boh!

[Andrea]

immaginiamo di avere davanti a noi 1000 porte di cui una sola vincente. Se voi ne scegliete una, avrete lo 0.1% di possibilità di vittoria, mentre il gruppo di porte rimanente avrà globalmente il 99.9% di possibilità di vincere. Se il conduttore eliminasse volta volta una porta fino ad arrivare sino a due porte soltanto (la vostra ed un'altra), secondo voi avrebbero entrambe il 50% di possibilità di essere quella vincente. Ma in questo caso è decisamente lampante che voi avete una possibilità su 1000 di aver preso la porta giusta, mentre l'altra porta è stata "selezionata" dal conduttore in un gruppo isolato che fa si che l'intera probabilità di vittoria ricada su quella stessa porta.
Converrete con me che sarebbe totalmente illogico non cambiare la porta all'ultimo round!!!
Stessa cosa (ma semplificata e con probabilità più livellate) accade con 3 porte.

E' tutto molto chiaro, come al solito, ma c'è sempre il problema che il presentatore, quando apre le porte sbagliate, non rivela niente di nuovo.
E' un informazione che il concorrente conosce già.
Il concorrente sa già fin dall'inizio che il presentatore eliminerà 998 porte vuote e che alla fine rimarranno solo due opzioni.
E' una regola del gioco.
La prima scelta del concorrente è ininfluente, perche egli sa fin dall'inizio che alla fine rimarranno due opzioni: Testa o Croce.

[ser gio]

immaginiamo di avere davanti a noi 1000 porte di cui una sola vincente. Se voi ne scegliete una, avrete lo 0.1% di possibilità di vittoria, mentre il gruppo di porte rimanente avrà globalmente il 99.9% di possibilità di vincere. Se il conduttore eliminasse volta volta una porta fino ad arrivare sino a due porte soltanto (la vostra ed un'altra), secondo voi avrebbero entrambe il 50% di possibilità di essere quella vincente. Ma in questo caso è decisamente lampante che voi avete una possibilità su 1000 di aver preso la porta giusta, mentre l'altra porta è stata "selezionata" dal conduttore in un gruppo isolato che fa si che l'intera probabilità di vittoria ricada su quella stessa porta.
Converrete con me che sarebbe totalmente illogico non cambiare la porta all'ultimo round!!!
Stessa cosa (ma semplificata e con probabilità più livellate) accade con 3 porte.

E' tutto molto chiaro, come al solito, ma c'è sempre il problema che il presentatore, quando apre le porte sbagliate, non rivela niente di nuovo.
E' un informazione che il concorrente conosce già.
Il concorrente sa già fin dall'inizio che il presentatore eliminerà 998 porte vuote e che alla fine rimarranno solo due opzioni.
E' una regola del gioco.
La prima scelta del concorrente è ininfluente, perche egli sa fin dall'inizio che alla fine rimarranno due opzioni: Testa o Croce.

Intrigante!!

Ho l'impressione che seguendo un ragionamento oppure l'altro si ha la sensazione di essere sulla strada giusta.

In effetti considerando le percentuali dei due gruppi iniziali 66% e 33% oppure 0.1% e 99,9 se quando arrivo a sole due porte o di qua o di là (testa o croce) perchè devo mantenere fisse le condizioni iniziali?

Capisco il calcolo matematico ma nella realtà le condizioni con l'andare del tempo cambiano e il dilemma si evolve.

Se penso, non rispondo subito, mi assento per una settimana torno a mente lucida e disilluso, ADESSO, a prescindere di cosa inizialmente avevo scelto ho due porte una è giusta l'altra no..

ops non sarà davvero nudo il re?


Grazie Andrea..

[AlbertoA]

Alla fine... bisognerebbe provare empiricamente!!! Ora... resta da capire quante prove servano per avere una significatività statistica
Chi comincia?
porta
1 2 3???
Ciao!
Alberto