Conoscete Il Paradosso Di Monty Hall?

[Macigno]

riassumo: ho scelto 1 casella su 3 a questo punto il presentatore mi apre una casella vuota e mi dice vuoi mantenere ancora la tua o la vuoi cambiare con l'ultima rimasta?
Ebbene le probabilità che rimangono sono 50 e 50 e non + 33 come ha detto proc perchè la casella che restituiamo non avendola aperta abbiamo restituito il nostro 33,3 iniziale di beccare la vincita, quindi si storna con la probabilità in più che ci regala il presentatore. Rimane 1 su 2 .
ciao
Macigno

[grimgor]

La risposta a questo problema è molto semplice, anche se non intuitiva.



Intanto ritengo molto utile dare la definizione di probabilità di un evento E, data dal matematico Laplace:

si definisce probabilità p di un "evento" E (e si indica generealmente p(E)) il rapporto tra gli eventi favorevoli e gli eventi possibili, ammesso che tutti gli eventi possibili siano equiprobabili. --> (Eventi favorevoli)/(Eventi Possibili)


Quindi se avessi 3 carte nere e io cercassi una carta nera la probabilità sarebbe: 3 carte favorevoli, 3 carte possibli --> 3/3=1 ossia la certezza.

Ancora, se io ho 3 carte di cui una rossa e due nere (cerchiamo la rossa), se io scelgo una di quelle carte a caso, avrò la probabilità di prendere la rossa pari a 1/3: le carte sono 3 (quindi 3 casi possibili o "Eventi") e quella che io cerco è solo una, quindi casi favorevoli (1, quella che cerco), casi possibili (3, la rossa più le due nere), mi danno il risultato 1/3=0.33


Ora, quale è il trucco per risovere questo problema? Molto semplice.


Torniamo al nostro esempio delle tre carte. Mettiamo che io ho disposto in un modo a me conosciuto le tre carte sul tavolo senza che voi sappiate la loro disposizione. Voi scegliete una carta a caso. Avete quindi il 33% di possibilità di trovare la carta rossa vincente, come abbiamo detto prima. Ora, se io scarto una delle due carte nere, rimarranno sul tavolo solo due carte. E qui parte l'errore comune: siccome ci sono solo due carte sul tavolo, la distribuzione di probabilità deve essere il 50% di vittoria per ogni carta. Sbagliato.

Perchè è sbagliato?

Semplice! Voi avete scelto la carta quando la probabilità di vittoria era del 33%. Ma io mostrandovi una carta non vincente ho cambiato l'equilibrio del gioco. La vostra carta ha una probabilità del 33% di essere quella rossa, mentre la carta coperta ha la probabilità del 66% di essere quella rossa. Infatti all'inizio del gioco tutte le carte avevano la solita probabilità di vincere (33%), ma quando voi avete scelto la vostra carta, quella viene "eliminata" dal gioco: rimangono quindi solo due carte di probabilità 33% l'una; io ne elimino una e l'altra si pappa la sua probabilità di essere una carta rossa, arrivando alla quota 66% (ossia 2/3).



Cambiamo leggermente le regole:
voi scegliete una carta dalle tre, io ne elimino una e poi rimescoliamo le due carte rimaste in gioco.
A questo punto la probabilità di vincita delle due carte è effettivamente del 50%, dato che la carta che avete scelto all'inizio non è stata "esclusa" dal gioco dopo la vostra scelta; in sostanza, la prima carta eliminata diventa superflua.



Questo fatto può essere facilmente provato empiricamente: prendere 3 carte, un compagno di gioco, un foglio e una penna. Create una tabella a due colonne e sulla prima riportate le vincite del vostro compagno non cambiando mai la carta e segnandovi il numero di partite giocate in questa sessione; sulla seconda riportate le vincite del vostro compagno quando cambia sempre la carta, segnando ancora il numero di partite che avete effettuato in questa seconda sessione. Adesso calcolatevi la percentuale di vittoria (Partite Vinte/Partite Giocate). Vedrete in fondo che nel primo caso la percentuale di vittoria sarà vicina al 33% (non sarà precisa perchè la probabilità diventa precisa per un numero infinito di partite), mentre nel secondo caso la percentuale di vittoria sarà vicina al 66%.






Piccola nota:
questo tipo di ragionamento potrebbe essere applicato in parte al programma affari tuoi di rai 1, anche se li le cose sono un pò più complicate.

[proc]

Proc, quindi stai dicendo che pur trovandoti davanti ad una scelta di due porte, con possibilità di vittoria 50 e 50 (1 su 2) di fatto non è 1 su 2, ma per via della dinamica della selezione della porta residua una delle due possibilità ha una "ponderazione" maggiore data dal fatto che la scelta del presentatore è comunque stata influenzata dalla mia prima scelta?

Si!

Son d'accordo con Proc!

Grazie

riassumo: ho scelto 1 casella su 3 a questo punto il presentatore mi apre una casella vuota e mi dice vuoi mantenere ancora la tua o la vuoi cambiare con l'ultima rimasta?
Ebbene le probabilità che rimangono sono 50 e 50 e non + 33 come ha detto proc perchè la casella che restituiamo non avendola aperta abbiamo restituito il nostro 33,3 iniziale di beccare la vincita, quindi si storna con la probabilità in più che ci regala il presentatore. Rimane 1 su 2 .
ciao
Macigno

Macigno, putroppo non è così!
Oltre alla spiegazione iniziale di Andrea e ai miei due tentativi di fare chiarezza, anche grimgor ha spiegato intuitivamente cosa succede. Sarebbe come dici se il gioco iniziasse al secondo stadio...ma il primo stadio e l'intervento del presentatore si dice (in statistica) che condizionano la probabilità finale.
Scusatemi se ho messo in mezzo un po' di matematica, a volte più che aiutare confonde!

Proc

[Macigno]

Allora sentite questa: dico si o dico no posso vincere e posso perdere 50 e 50 non esiste altro evento.
Non sono obbligato a dire si, non sono obbligato a dire no, non conosco le probabilità posso dire una delle due posso avere come risultato una delle due quindi 50 e 50
ciao
Macigno

[proc]

Allora sentite questa: dico si o dico no posso vincere e posso perdere 50 e 50 non esiste altro evento.
Non sono obbligato a dire si, non sono obbligato a dire no, non conosco le probabilità posso dire una delle due posso avere come risultato una delle due quindi 50 e 50
ciao
Macigno

Mi spiace Macigno, ma ti devo contraddire. Sarebbe così, come ho già detto, se il gioco iniziasse quando ci sono solo 2 porte ma non è questo il caso. Se non siamo stati convincenti a parole, prova a leggere la dimostrazione matematica che ho scritto a pagina precedente su quella non si può sbagliare!
Il teorema usato, di cui non ricordavo il nome, si chiama teorema di Bayes è uno dei teoremi fondamentali della probabilità condizionata.
Tra l'altro scopro che, su wikipedia, viene applicato anche a questo (apparente) paradosso che stiamo discutendo, ma in maniera un po' diversa da come l'ho fatto io ieri e che, ahimè, non ho inventato, ma ho studiato tempo addietro su qualche libro di statistica. Se vuoi ti posso dare il riferimento. Inoltre, credimi, ci sono diversi giochetti statistici come questo...la statistica è una scienza spesso "controintuitiva", lo sanno bene i giocatori di poker.

Per concludere, ovviamente, tutto va preso nel senso della statistica: pensando cioè a grandi numeri. Come ti suggeriva grimgor, prova a fare un esercizio con una tabellina in cui segni quante volte vinci e quante volte perdi ripetendo com 3 carte tutti i passi del gioco: facci sapere ... e non barare

Ciao,
Proc

[AlbertoA]

Fernando, da wikipedia non era così chiaro come dopo la prima spiegazione di Proc ed è stata da quella che ho capito...
Le scelte sono due certo, ma la probabilità associata a ciascuna scelta non è uguale.
Non si deve dimenticare che quando scegli per la seconda volta se cambiare o no non scegli fra due porte a caso, ma scegli fra una porta che aveva una probabilità su 3 di essere quella giusta ed una che invece ha riassunto le probabilità residue.
In pratica tu scegli, quindi ti prendi il tuo terzo di possibilità.
Il presentatore esclude l'altra porta. Quindi TUTTE le probabilità residue (2/3 che derivano da 1-1/3) si vanno a concentrare sulla porta residua, che tu scegli cambiando la scelta iniziale.

[Macigno]

non conosco le probabilità e gioco 100 volte e secondo la volonta casuale del momento dico si cambio e dico no non cambio.
Alla fine ho detto si x 50 volte ed ho detto no per le restanti 50 volte.
CALCOLO
50 volte x no= 50:3x1= 16,67 (probabilità bassa di vincere)
50 volte x si= 50:3x2= 33,33( probabilità alta di vincere )
-----------------------
50,00 totale
100:50 uguale 50%
Scusate se è un paradosso sarà anche lasciato al libero arbitrio!

ciao
Macigno

[Andrea]

non conosco le probabilità e gioco 100 volte e secondo la volonta casuale del momento dico si cambio e dico no non cambio.
Alla fine ho detto si x 50 volte ed ho detto no per le restanti 50 volte.
CALCOLO
50 volte x no= 50:3x1= 16,67 (probabilità bassa di vincere)
50 volte x si= 50:3x2= 33,33( probabilità alta di vincere )
-----------------------
50,00 totale
100:50 uguale 50%

Secondo me è esatto.
Se, una volta aperta la porta dal presentatore, scelgo a caso tra le porte restanti, l'evento favorevole avrà la stessa probabilità di uscire: 1/2 e 1/2.

[Andrea]

Ora sono stato + chiaro?

Proc, grazie per la ulteriore spiegazione.
Io l'ho capita. Come avevo capito anche le altre.
E lo condividerei se il problema/quiz fosse unico o conseguente o in due stadi.
Quello che io contesto è che secondo me il Problema/quiz non è unico, ma sono due separati e indipendenti anche se apparentemente sono collegati dalla presenza dello stesso presentatore, dello stesso concorrente, delle stesse porte etc.
Secondo me si tratta di due problemi/quiz separati. Anzi, secondo me la prima parte non è nemmeno un problema/quiz. Secondo me si tratta di scenografia, coreografia, fuffa, fumo negli occhi. Secondo me è solo un elemento di disturbo che andrebbe tagliato via col rasoio di Occam.

Però qui mi sorge un dubbio.
Se ci fossero mille porte e il presentatore mi dicesse: "ne vuoi aprire una o 999?"
In questo caso non avrei dubbi a scegliere 999...

E faresti benissimo!

Beh, ma è ovvio. Ma infatti non si tratta di un paradosso.
E' ovvio che tra 999 porte sia più probabile trovare quella favorevole rispetto ad una porta.
Ma nel quiz di Monty Hall, alla fine, ci sono solo due porte e secondo me in entrambe c'è la stessa probabilità di trovare quella favorevole.

[artista]

Si se parti da 2.........ma tu sei partito da 3 e quindi conosci lo sviluppo dei fatti..................per questo si chiama calcolo delle probabilità e non delle certezze.

[Andrea]

Semplice! Voi avete scelto la carta quando la probabilità di vittoria era del 33%. Ma io mostrandovi una carta non vincente ho cambiato l'equilibrio del gioco. La vostra carta ha una probabilità del 33% di essere quella rossa, mentre la carta coperta ha la probabilità del 66% di essere quella rossa. Infatti all'inizio del gioco tutte le carte avevano la solita probabilità di vincere (33%), ma quando voi avete scelto la vostra carta, quella viene "eliminata" dal gioco: rimangono quindi solo due carte di probabilità 33% l'una; io ne elimino una e l'altra si pappa la sua probabilità di essere una carta rossa, arrivando alla quota 66% (ossia 2/3).


Cambiamo leggermente le regole:
voi scegliete una carta dalle tre, io ne elimino una e poi rimescoliamo le due carte rimaste in gioco.
A questo punto la probabilità di vincita delle due carte è effettivamente del 50%, dato che la carta che avete scelto all'inizio non è stata "esclusa" dal gioco dopo la vostra scelta; in sostanza, la prima carta eliminata diventa superflua.

Ecco, secondo me questi due scenari sono uguali. Che tu mescoli o non mescoli le carte, secondo me è lo stesso.
Sembrano diversi perchè tu hai collegato il primo artatamente ad un evento precedente (la scelta iniziale) che secondo me invece è ininfluente.
Secondo me è un finto paradosso come la freccia che non arriverà mai al bersaglio perche la distanza tra i due può essere divisa per due all'infinito. Poi nella pratica la freccia ci arriva al bersaglio.

E poi c'è anche quest'altra considerazione: il calcolo delle probabilità funziona sui grandi numeri, ma voi vi troverete una sola volta nella vita a partecipare al quiz e avrete una sola scelta.
Avrete due porte: una buona e l'altra grama
E secondo me entrambe alla fine hanno la stessa probabilità.

[anonimo]

E poi c'è anche quest'altra considerazione: il calcolo delle probabilità funziona sui grandi numeri, ma voi vi troverete una sola volta nella vita a partecipare al quiz

Andrea IMHO non e' il calcolo delle probabilita' che funziona solo sui grandi numeri. Piuttosto e' la frequenza di un evento che si avvicina al valore atteso tanto meglio quanto più e' alto il numero di prove. Il calcolo funziona e' la variabile che e' aleatoria
Ciò nonostante il valore e' utile anche se ci giochi una volta. Non ti da garanzie, ma e' evidente.che uno punta di più su un evento in ragione della probabilità che esso si verifichi. Il calcolo serve a questo non a predire l'esito singolo evento

[proc]

Mi spiace non essere stato abbastanza chiaro e convincente per tutti.

P

[Macigno]

Mi spiace non essere stato abbastanza chiaro e convincente per tutti.

P

Ma no sei stato chiarissimo, se pesco una casella ho una probabilità bassa di beccare quella giusta perchè è una su tre, quando il presentatore toglie il superfluo ho 1 su 2 col col fatto di aver pescato sicuramente male, cambio in meglio.
ciao
Macigno

[Andrea]

Mi spiace non essere stato abbastanza chiaro e convincente per tutti.

P

Proc, non prendertela, tu sei stato chiarissimo.

Aggiungo un solo esempio per spiegare meglio quando dico che secondo me si tratta di due problemi/quiz separati e indipendenti.

E' come se all'inizio il presentatore facesse il gioco della monetina con una monetina a 3 facce (è una monetina strana, lo so, ma fammi questa concessione per amore di discussione).
Ogni faccia ha 1/3 di probabilità di uscire.
Poi il presentatore fa una magia e la trasforma in una normale monetina a due faccie.
A qusto punto ogni faccia ha 1/2 probabilità di uscire.
Secondo me non importa che faccia io abbia scelto sulla monetina a 3 faccie, perchè tanto questo è un altro giro indipendente dal precedente.