Conoscete Il Paradosso Di Monty Hall?

[Andrea]

Io l'ho conosciuto oggi leggendo questo articolo di Maurizio Codogno:
http://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2011/03/04/il-paradosso-di-monty-hall/
E poi ho leggermente approfondito l'argomento su Wikipedia:
http://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hall

La questione è questa:
voi siete i concorrenti di un quiz televisivo.
Il presentatore vi mostra 3 porte, dietro una porta c'è una pialla Karl Holtey e dietro le due restanti ci sono due pialle Rali.
Venite invitati a sceglierne una e, prima di aprirla, il presentatore, che conosce cosa si nasconde dietro ogni porta, ne apre una e vi mostra che dietro c'è una pialla Rali.
A questo punto il presentatore vi chiede se volete cambiare la vostra scelta iniziale.
E qui arriva la questione: probabilisticamente, vi conviene mantenere la vostra scelta iniziale o cambiarla?
La risposta esatta è la seconda. Sembra strano, eh?
Addirittura, se decidete di cambiare la vostra decisione iniziale, avete il doppio delle probabilità di vincere. Sembra assurdo, eh? E infatti per questo motivo si chiama paradosso.

Io sinceramente non c'ero arrivato da solo.
Io pensavo che le probabilità fossero le stesse.
Anzi, lo penso tutt'ora.

Comunque la spiegazione non è nemmeno troppo difficile da capire e ce la fornisce wikipedia:
"Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3:
Il giocatore sceglie la Rali numero 1. Il conduttore sceglie l'altra Rali. Cambiando, il giocatore vince l'Holtey.
Il giocatore sceglie la Rali numero 2. Il conduttore sceglie l'altra Rali. Cambiando, il giocatore vince l'Holtey.
Il giocatore sceglie l'Holtey. Il conduttore sceglie una Rali, non importa quale delle due. Cambiando, il giocatore trova l'altra Rali.
Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l'Holtey; nel terzo scenario il giocatore che cambia non vince. Dal momento che la strategia "cambiare" porta alla vittoria in due casi su tre, le chance di vittoria adottando questa strategia sono 2/3."

Io questa spiegazione l'ho capita eppure c'è qualcosa che non mi quadra.

Secondo me c'è qualcosa che non va nell'enunciazione del problema.
Secondo me, se il quiz si svolge sempre nello stesso modo (il giocatore sceglie una porta, il presentatore ne apre una sbagliata, il giocatore deve decidere se mantenere o cambiare la propia decisione iniziale), il vero quiz non comincia quando il giocatore deve scegliere la prima porta e quindi le probabilità non bisogna contarle in questa fase.
Secondo me il vero quiz comincia solo quando il giocatore deve decidere se mantenere o cambiare la propia decisione iniziale e qui le probabilità sono 1/2 e 1/2.

Secondo voi, questo mio ragionamento è una stronzata galattica o ci può stare?

[AlbertoA]

Sono d'accordo che il quiz comincia con la seconda scelta, o meglio, la prima non conta nulla, il fatto di aprire una porta esclude di fatto una delle due "scegli una porta con la rali", quindi esclude una delle "certezze" di vincere la Holtey (cambiare nella situazione in cui si era vinta la capra.
Ci sono quindi solo 2 possibilità, 1 rali o 1 holtey, quindi non possono che essere 50 e 50, o meglio, 4 scenari in cui 2 portano alla vittoria della pialla buona, 2 alla rali (comunque potevi anche scegliere di peggio, una Stanley SB3

[anonimo]

Penso anch'io che fornire informazioni dando la possibilita' di cambiare, durante il gioco..... perturba le condizioni iniziali di 1/3 1/3 !/3 anche wiki dice che par es nel gioco delle carte le probabilita' cambiano in funzione di quello che gia' e' uscito... un po' come dire che pescare un asso da un mazzo nuovo è 1/13 ma se uno mi sfoglia mezzo mazzo davanti e li' assi non ce ne sono... nella restante meta' sara 2/13. Quindi ...il perchè non lo saprei formalizzare ma sono d'accordo con voi.

Piuttosto: (sperando che non sia nella stessa pagina di wiki)
poniamo che ci siano 2 porte e viene detto al concorrente che dietro c'e' un auto e una capra ma il conduttore truffatore mette due capre..... la notizia trapela e uno spiffera al concorrente che c'è l'inghippo e vincera' sicuramente una capra.
Al contrario dice lui: vincero' sicuramente l'auto........... come fa?

[extra-wood]

è solo un fatto del cambio di variabile! bisogna sempre tener conto che se ti danno 3 possibilità (33,3% di possibilità) te ne fanno scegliere una (esempio la n°1) e il presentatore esclude (esempio la n°3)
ora il presentatore vi chiede se volete tenere quella o cambiarla e voi sapete che dovete tener conto del cambio di variabile! perciò sapendo che se vi ha fatto la domanda e in + ha aperto la n°3 avete il 66,7% di vincita se cambiate scelta! quindi scegliete la n°2 e avrete la vittoria in pugno!
CAMBIO DI VARIABILE!!!!!
spero nn sia complicato capirlo!

[proc]

Si tratta di un problema di probabilità condizionata (lo conoscevo sotto altro nome in realtà). Questo tipo di problemi in cui la soluzione corretta è anti-intuitiva, in teoria delle probabilità sono + frequenti di quanto si possa credere.

Provo a dare una dimostrazione matematicamente + rigorosa (non l'ho inventata io, ricordo di averla letta su un libro di statistica) della correttezza della soluzione (che la scelta giusta è cambiare!) che si può enunciare come segue.

Senza l'intervento del presentatore che CONDIZIONA il prosieguo del gioco la probabilità P(X_i) di prendere l'holtey è 1/3, come ovvio, perché c'è un evento favorevole su tre scelte possibili.

Ora, per fissare le idee, diciamo di scegliere la porta 1 (evento X_1) e che il presentatore apra la porta 2 (evento Y): queste ipotesi NON CAMBIANO IL RISULTATO FINALE potremmo aver scelto una qualsiasi combinazione di porte come si capirà nel seguito.

A questo punto definiamo la probabilità condizionata P(X_i,Y) come la probabilità dell'evento X_i a condizione che sia verificato Y.

A noi serve confrontare P(X_1|Y) e P(X3|Y) dato che la X_2 non la possiamo scegliere perché la apre il conduttore.

Per fare ciò abbiamo bisogno di fare un po' di considerazioni preliminari.
La probabilità che il presentatore apra la porta 2 è condizionata ovviamente dalla presenza dell'auto. Noi abbiamo scelto X_1 ora vediamo come la posizione dell'auto determini la scelta del conduttore studiando la probabilità condizionata P(Y|X_i):

-Se l'holtey è dietro la mia porta 1: P(Y|X_1)=1/2 perché il presentatore potrebbe scegliere ugualmente di aprire la 2 o la 3
-Se l'holtey è dietro la porta 2: P(Y|X_2)=0 perché il presentatore non può aprire la porta due e mostrare l'holtey
-Se l'holtey è dietro la porta 3: P(Y|X_2)=1 perché il presentatore è costretto ad aprire la porta 2 dato che l'altra porta perdente, la 1, è già mia

In definitiva la probabilità che il presentatore apra la porta 2 si ottiene sommando su tutti i possibili eventi è

P(Y) = somma_(i=1,3) P(Y|X_i)P(X_i) = (1/2 + 0+1) *1/3 = 1/2

Ora, secondo un celebre teorema di statistica, la probabilità il risultato del nostro problema P(X_i,Y) è dato da:

P(X_1,Y) = P(Y|X_1) P(X_1) /P(Y) = 1/2 *1/3 /(1/2) = 1/3 Se tengo la mia porta ho probabilità 1/3 di vincere
P(X_2,Y) = P(Y|X_2) P(X_2) /P(Y) = 0 * 1/3/ (1/2) = 0 Non posso scegliere la 2 perché l'ha aperta il conduttore
P(X_3,Y) = P(Y|X_3) P(X_3) /P(Y) = 1 * 1/3 / (1/2) = 2/3 Se cambio la porta ho probabilità 2/3 di vincere

Quindi le Probabilità che ho di vincere RADDOPPIANO (da 1/3 a 2/3) se cambio la scelta: tutto è determinato dall'intervento del conduttore che se fosse stato zitto avrebbe lasciato intatte le mie probabilità al 33.3%

Spero di non aver fatto confusione né di averne innescata :)

Proc

[Macigno]

http://www.youtube.com/watch?v=PsK1c9ZBpuw
Vi ricordate la domanda che il professore fece al ragazzo genio?
Proprio quella.
ciao
Macigno

[anonimo]

Proc:

[anonimo]

Proc: :inchiino:

Scusate il doppio post

[Andrea]

Quindi le Probabilità che ho di vincere RADDOPPIANO (da 1/3 a 2/3) se cambio la scelta: tutto è determinato dall'intervento del conduttore che se fosse stato zitto avrebbe lasciato intatte le mie probabilità al 33.3%

Spero di non aver fatto confusione né di averne innescata :)

Eh, in effetti adesso sono un po' più confuso. :-)

Comunque io, la spiegazione di Wikipedia che ho trascritto, l'ho capita. E non ci trovo nulla di sbagliato, mi sembra logica e lineare.
Eppure c'è qualcosa che non mi torna.
E' per questo che dico che secondo me c'è un errore nell'enunciazione del problema (enunciazione del quiz).
Secondo me, cosi come è formulato, non è un unico quiz, ma sono due separati e distinti:
1) la prima scelta della porta;
2) la seconda scelta tra tenere e cambiare.
Anzi, se devo dirla tutta, secondo me il primo quiz non è nemmeno un quiz, ma è solo scenografia (come la sigla, le ballerine, le luci etc) giacchè la prima risposta del concorrente è ininfluente, visto che immediatamente dopo è invitato a ripeterla.

Un commentatore del blog succitato propone una spiegazione ancora più semplice:
"supponiamo che il presentatore *non* mi mostri la porta sbagliata, ma mi chieda: “confermi la tua scelta o cambi e puoi aprire *le altre due* porte?” (di cui ovviamente almeno una sbagliata che è quella che nella prima versione avrebbe aperto)
Se cambio raddoppio la mia probabilità di vincita."
In questo caso, c'è effettivamente un solo quiz, ma secondo me le probabilità sono comunque 1/2 e 1/2 perchè comunque ci sono solo due scele: una vincente e una perdente.

Però qui mi sorge un dubbio.
Se ci fossero mille porte e il presentatore mi dicesse: "ne vuoi aprire una o 999?"
In questo caso non avrei dubbi a scegliere 999...
E allora come la mettiamo...
Sono confuso...

[Andrea]

http://www.youtube.com/watch?v=PsK1c9ZBpuw
Vi ricordate la domanda che il professore fece al ragazzo genio?
Proprio quella.
ciao
Macigno

Ho letto il libro (Blackjack Club), ma non sono mai riuscito a trovare il film.
Sembra molto bello.
Bisogna che ricomincio a cercarlo. :-)

[proc]

Innanzitutto grazie a Rolly per l'inchino...ma non lo merito, i tuoi problemi geometrici sono ben + complessi. Mi hai beccato allenato perché di recente ho spiegato un po' di statistica a mia sorella.

Per Andrea: mi spiace, non era mio intento ingenerare confusione!

Secondo me, cosi come è formulato, non è un unico quiz, ma sono due separati e distinti:
1) la prima scelta della porta;
2) la seconda scelta tra tenere e cambiare.
Anzi, se devo dirla tutta, secondo me il primo quiz non è nemmeno un quiz, ma è solo scenografia (come la sigla, le ballerine, le luci etc) giacchè la prima risposta del concorrente è ininfluente, visto che immediatamente dopo è invitato a ripeterla.

No! Questo è errato. La prima scelta pone il presentatore, sua volta di fronte a una scelta che condiziona (in senso statistico) l'esito del gioco.
Si tratta di un problema a due stadi.
Se non ci fosse il presentatore che pone la condizione (che io ho chiamato Y) la probabilità sarebbe 1/3 1/3 1/3.
Di contro se il gioco partisse direttamente dopo l'apertura del presentatore avresti un coin flip: 1/2 vinci 1/2 perdi.

La particolarità di questo "gioco" è l'intervento del presentatore che sposta il "peso statistico" della porta che apre (sicuramente perdente) a tuo favore.
Di fatto ti sta regalando il 33.3% di probabilità.

Mettila così. In questo gioco, SE ACCETTI IL CAMBIO, PERDI SOLO SE AL PRIMO COLPO AVEVI PRESO LA HOLTEY: la probabilità di quest'evento è 1/3. Quindi hai i restanti 2/3 di probabilità di vincere! 1/3 te l'ha regalato il presentatore aprendo una porta perdente.

Se non effettui il cambio, non accetti il regalo del 33% che ti sta facendo il presentatore, quindi rimani con il tuo 33.3% iniziale di vincere. E non sfrutti tutta la seconda fase del gioco.

Ora sono stato + chiaro?

Però qui mi sorge un dubbio.
Se ci fossero mille porte e il presentatore mi dicesse: "ne vuoi aprire una o 999?"
In questo caso non avrei dubbi a scegliere 999...

E faresti benissimo!


Comunque io non saprei che farmene di una holtey: la baratterei con una buona filo spessore per sostituire la mia piccoletta...e andrei avanti con le mie pialle manuali un po' vintage e un po' (molto poco) veritas :)

Proc

[anonimo]

Innanzitutto grazie a Rolly per l'inchino...ma non lo merito, i tuoi problemi geometrici sono ben + complessi. Mi hai beccato allenato perché di recente ho spiegato un po' di statistica a mia sorella.

Altro inchino per la tua modestia Proc i miei calcoli sono da praticone, la tua spiegazione e' perfetta.

Per quanto riguarda il quizzetto ot delle due capre la risposta e' che il concorrente sceglie una porta ma esige venga aperta l'altra. Siccome trova la capra in quella che ha scelto puo' sostenere che ci deve essere l'auto

[proc]

Innanzitutto grazie a Rolly per l'inchino...ma non lo merito, i tuoi problemi geometrici sono ben + complessi. Mi hai beccato allenato perché di recente ho spiegato un po' di statistica a mia sorella.

Altro inchino per la tua modestia Proc i miei calcoli sono da praticone, la tua spiegazione e' perfetta.

Per quanto riguarda il quizzetto ot delle due capre la risposta e' che il concorrente sceglie una porta ma esige venga aperta l'altra. Siccome trova la capra in quella che ha scelto puo' sostenere che ci deve essere l'auto

Rigrazie! Carino il quiz o.t. l'unico modo per scovare l'imbroglio!

Ciao,
P

[AlbertoA]

Proc, quindi stai dicendo che pur trovandoti davanti ad una scelta di due porte, con possibilità di vittoria 50 e 50 (1 su 2) di fatto non è 1 su 2, ma per via della dinamica della selezione della porta residua una delle due possibilità ha una "ponderazione" maggiore data dal fatto che la scelta del presentatore è comunque stata influenzata dalla mia prima scelta?

[Paquito]

Son d'accordo con Proc!