Conoscete Il Paradosso Di Monty Hall?

[grimgor]

Mi spiego meglio, abbiamo detto che io ne scelgo una, il presentatore sceglie volutamente una perdente... e poi chiede di cambiare.
Se invece di scegliere volutamente una perdente ne avesse presa una a caso delle due rimanenti (quindi anche con la possibilità di trovare quella vincente, ma che non trova nel mio caso) mi troverei in una situazione diversa, sempre con due porte... in questo caso penso che la probabilità sia a quel punto il 50% o sbaglio?

Non sono sicuro del mio ragionamento, quindi mi corregga chi è più esperto di me.

Io credo di si, perchè il fatto che il presentatore scelga o no volutamente la porta da eliminare, le probabilità sono le solite.


Mi spiego meglio:

supponiamo che il presentatore sia all'oscuro di cosa si cela dietro ognuna delle porte. Te fai la tua scelta e togli una porta dal gioco, che rimarrà la tua porta fino in fondo. Ora, la probabilità che la porta vincente sia tra le due che non hai scelto è del 66%. Il presentatore sceglie a caso una porta. Ci si presentano sostanzialmente due casi possibili:

1. Hai scelto la porta vincente (33%): il presentatore ha il 100% di prendere la porta perdente;
2. Hai scelto una porta perdente (66%): quindi il presentatore sceglie a caso una delle due porte ed ha il 50% di prendere quella vincente;


Quindi il risultato è globalmente uguale, dato che se il presentatore tira fuori la porta vincente hai perso, se non la tira fuori la probabilità che la porta vincente sia quella che non hai te è sempre del 66%.

E' tutto molto chiaro, come al solito, ma c'è sempre il problema che il presentatore, quando apre le porte sbagliate, non rivela niente di nuovo.
E' un informazione che il concorrente conosce già.
Il concorrente sa già fin dall'inizio che il presentatore eliminerà 998 porte vuote e che alla fine rimarranno solo due opzioni.
E' una regola del gioco.
La prima scelta del concorrente è ininfluente, perche egli sa fin dall'inizio che alla fine rimarranno due opzioni: Testa o Croce.

Il tuo ragionamento è sbagliato in un punto cruciale. Cercherò di spiegartelo tramite la "Reductio ad absurdum":

supponiamo veritierio il tuo ragionamento e supponiamo che tu partecipi a questo gioco con mille porte e una sola porta vincente.
Secondo il tuo ragionamento, te sai già che solo una porta è vincente e che verranno eliminate 999 porte. Quindi, te non avresti lo 0.1% di possibilità di vincere, ma il 100% perchè sai già, essendo la regola del gioco, che verranno eliminate 999 porte e quindi ciò non rivela niente di nuovo. Quindi dovresti vincere ad ogni partita che giochi, ma ciò è evidentemente impossibile.


Questo metodo di ragionamento che stai utilizzando è il classico metodo utilizzato dalla filosofia fino all'illuminismo. Parti da un concetto che è sbagliato o che non può essere dimostrato essere vero e sviluppi un pensiero coerente. Però essendo il presupposto di partenza sbagliato o comunque non verietiero, arrivi a conclusioni sbagliate e spesso illogiche, come ho cercato di mostrarti. Il rasoio di Occam deve essere usato solo quando si può usare, non a casaccio, come è stato spesso fatto da molti filosofi, sopratutto cristiani.

Alla fine... bisognerebbe provare empiricamente!!! Ora... resta da capire quante prove servano per avere una significatività statistica
Chi comincia?
porta
1 2 3???
Ciao!
Alberto

Statisticamente dopo circa 30 lanci la distribuzione dei dati è perfettamente approssimata da una gaussiana e può essere quindi studiata con tutti i metodi statistici relativi. Quindi con una 40ina di dati dovremmo avere dei risultati decenti. :)

[Andrea]

Alla fine... bisognerebbe provare empiricamente!!! Ora... resta da capire quante prove servano per avere una significatività statistica
Chi comincia?
porta
1 2 3???
Ciao!
Alberto

Deterministicamente, la strategia tenere sempre è vincente il 33.3% delle volte;
la strategia cambiare sempre è vincente il 66.6% delle volte e
la strategia scegliere nuovamente a caso è vincente il 50% delle volte.

[Macigno]

Ragazzi questa che vi racconto ve lo giuro che mi è accaduto veramente.
Alla festa patronale vengono sempre le bancarelle e il gioco dei pacchi.
Un giorno, di molti anni fa vinsi una busta. Il presentatore mi dice che mi offriva questo e quest'altro se gli avessi dato la mia busta. Tenete presente che il primo premio era un motorini SCATTO della PIAGGIO colore bianco con delle strisce rosse, mi è rimasto impresso. Ancora il presentatore mi offre un'altra busta in cambio della mia, io sistematicamente rifiuto, egli va avanti.
Mi offre altra roba ed io sempre no! Alla fine ho ceduto e mi ha dato un autoradio, una radio mangiacassette, un telefono da sala, quelli col filo ed un ventilatore. Nella mia busta c'era il motorino.
Ribadisco se non conosci le probabilità e la tua giocata è una tantum allora è 50 50
ciao
Macigno

[grimgor]

Ragazzi questa che vi racconto ve lo giuro che mi è accaduto veramente.
Alla festa patronale vengono sempre le bancarelle e il gioco dei pacchi.
Un giorno, di molti anni fa vinsi una busta. Il presentatore mi dice che mi offriva questo e quest'altro se gli avessi dato la mia busta. Tenete presente che il primo premio era un motorini SCATTO della PIAGGIO colore bianco con delle strisce rosse, mi è rimasto impresso. Ancora il presentatore mi offre un'altra busta in cambio della mia, io sistematicamente rifiuto, egli va avanti.
Mi offre altra roba ed io sempre no! Alla fine ho ceduto e mi ha dato un autoradio, una radio mangiacassette, un telefono da sala, quelli col filo ed un ventilatore. Nella mia busta c'era il motorino.

Nelle scienze questo avvenimento ha un nome ben preciso:
botta di culo.

Ribadisco se non conosci le probabilità e la tua giocata è una tantum allora è 50 50
ciao
Macigno

Il tuo discorso è molto illogico, dato che se una persona conosce la statistica ha una probabilità di vincere di uno su tre mentre se uno non la conosce di uno su due...diciamo che ciò è totalmente impossibile, dato che le conoscenze che ha una persona non possono modificare gli eventi statistici.

Comunque, nel tuo caso la cosa era ben diversa: te avevi vinto questa busta e per farti desistere il presentatore ti offriva altri oggetti.
Il nostro caso è molto diverso: te scegli tra un tot di oggetti e man mano il presentatore elimina gli oggetti che te non hai scelto la probabilità che tu abbia quello vincente rimane costante, come rimane costante la probabilità che quello vincente non sia quello che tu hai scelto. Le due cose sono ben diverse.

[anonimo]

Cercherò di spiegartelo tramite la "Reductio ad absurdum":

Questo metodo di ragionamento che stai utilizzando è il classico metodo utilizzato dalla filosofia fino all'illuminismo. Parti da un concetto che è sbagliato o che non può essere dimostrato essere vero e sviluppi un pensiero coerente. Però essendo il presupposto di partenza sbagliato o comunque non verietiero, arrivi a conclusioni sbagliate e spesso illogiche, come ho cercato di mostrarti.

Vi ho perso da un bel po'.... e non sono quindi in grado di commentare sul problema di MH..... volevo chiedere pero' riguardo le dimostrazione per assurdo cosa si intende con la condizione "o" evidenziata..... dato che la validita' del metodo si basa sull'esistenza di due sole possibilita' vero/falso (terzo escluso) .... dal tuo discorso sembra ci siano piu' livelli (vero, non veritiero, sbagliato). Capisco male?

Statisticamente dopo circa 30 lanci la distribuzione dei dati è perfettamente approssimata da una gaussiana e può essere quindi studiata con tutti i metodi statistici relativi. Quindi con una 40ina di dati dovremmo avere dei risultati decenti. :)

se non ricordo male la gaussiana si ottiene quando a determinare l'evento concorrono un numero pressochè infinito di variabili indipendenti e casuali come nel lancio di un dado che appunto nomini (lancio). Ma si puo' equiparare a lanci la ripetizione del quiz di MH? in altre parole io non ho capito granchè ...... ma perche' proprio la distribuzione normale e non altre? forse per ripetere il quiz bisogna riposizionare i premi con dei lanci? ma allora si studia la distribuzione dei lanci o dell'esito del gioco?

scusate la divagazione.... e il mio stato di confusione

[AlbertoA]

Il numero di prove deve dipendere dall'intervallo di confidenza che si vuole... se si deve vedere se sia vera un'ipotesi di 90/100 rispetto ad una 50/100 ne servono meno... ma a dover "verificare" una differenza fra 49/100 e 50/100 diventa un numero pressoché infinito!
Quindi dimostrare se sia vero 67/100 o 50/100 non è così "indolore"...
Deve essere fatto proprio il quiz, perché c'è l'intervento del presentatore.

Fernando, nel tuo caso sì, avevi il 50% di possibilità di vincere! Anzi... forse meno, dato che il presentatore ha cercato in tutti i modo di "corromperti"... magari sapeva cosa c'era nella busta

[ser gio]

E' tutto molto chiaro, come al solito, ma c'è sempre il problema che il presentatore, quando apre le porte sbagliate, non rivela niente di nuovo.
E' un informazione che il concorrente conosce già.
Il concorrente sa già fin dall'inizio che il presentatore eliminerà 998 porte vuote e che alla fine rimarranno solo due opzioni.
E' una regola del gioco.
La prima scelta del concorrente è ininfluente, perche egli sa fin dall'inizio che alla fine rimarranno due opzioni: Testa o Croce.

Il tuo ragionamento è sbagliato in un punto cruciale. Cercherò di spiegartelo tramite la "Reductio ad absurdum":

supponiamo veritierio il tuo ragionamento e supponiamo che tu partecipi a questo gioco con mille porte e una sola porta vincente.
Secondo il tuo ragionamento, te sai già che solo una porta è vincente e che verranno eliminate 999 porte. Quindi, te non avresti lo 0.1% di possibilità di vincere, ma il 100% perchè sai già, essendo la regola del gioco, che verranno eliminate 999 porte e quindi ciò non rivela niente di nuovo. Quindi dovresti vincere ad ogni partita che giochi, ma ciò è evidentemente impossibile.

Scusa Grimgor, siceramente non capisco con che logica attribuisci ad Andrea questo ragionamento.

Perchè dici che la regola del gioco prevede l'eliminazione delle 999 porte? Non è così!

La regola del gioco prevede che vengano eliminate 998. A quel punto DEVE intervenire la scelta del giocatore, che in fondo sceglie fra due...


Sergio

[grimgor]

Vi ho perso da un bel po'.... e non sono quindi in grado di commentare sul problema di MH..... volevo chiedere pero' riguardo le dimostrazione per assurdo cosa si intende con la condizione "o" evidenziata..... dato che la validita' del metodo si basa sull'esistenza di due sole possibilita' vero/falso (terzo escluso) .... dal tuo discorso sembra ci siano piu' livelli (vero, non veritiero, sbagliato). Capisco male?

La reductio ad absurdum (o dimostrazione per assurdo) non c'entra con il discorso da te evidenziato. Essa effettivamente può solo cercare di evidenziare se una proposizione è vera o è falsa.

In ciò che hai evidenziato cercavo di far capire ad andrea che il suo ragionamento è sbagliato perchè è partito da un presupposto sbagliato, cosa che avviene spesso in filosofia. Nonostante i ragionamenti che vengono tirati fuori siano giusti, essendo l'ipotesi inizilale errata, essa invalida tutto il ragionamento.

se non ricordo male la gaussiana si ottiene quando a determinare l'evento concorrono un numero pressochè infinito di variabili indipendenti e casuali come nel lancio di un dado che appunto nomini (lancio). Ma si puo' equiparare a lanci la ripetizione del quiz di MH? in altre parole io non ho capito granchè ...... ma perche' proprio la distribuzione normale e non altre? forse per ripetere il quiz bisogna riposizionare i premi con dei lanci? ma allora si studia la distribuzione dei lanci o dell'esito del gioco?

scusate la divagazione.... e il mio stato di confusione

Gli statistici hanno osservato empiricamente che dopo una serie di 30 o più dati, la distribuzione degli ultimi assomiglia talmente tanto ad una gaussiana che è impossibile distinguere la distribuzione vera o propria dalla distribuzione normale. In sostanza, con più di 30 dati si ha una distribuzione approssimabile ad una gaussiana.

La distribuzione normale è alla base della statistica. La distribuzione di un qualunque dato che può essere analizzato come un dato di tipo statistico è approssimabile con una gaussiana, e ciò permette di utilizzare tutti i metodi ad essa relativi (mediana, moda, varianza, skewness etc). Quindi con un numero di dati superiori a 30 si ottiene una media accettabile ai fini dell'analisi statistica.
Nel caso di questa analisi, sarebbe opportuno avere una serie di almeno 100 dati, ma anche con una 40ina si ottengono dei risultati generalmente accettabili.

Scusa Grimagor, siceramente non capisco con che logica attribuisci ad Andrea questo ragionamento.

Perchè dici che la regola del gioco prevede l'eliminazione delle 999 porte? Non è così!

La regola del gioco prevede che vengano eliminate 998. A quel punto DEVE intervenire la scelta del giocatore, che in fondo sceglie fra due...
10,

Sergio

La regola del gioco prevede che vengano eliminate 999 e solo una sia vincente e la scelta del giocatore si ha all'inizio del gioco, non alla fine.
Ma anche se fosse come dici te, avremmo che scegliendo una porta su 1000 abbiamo una possibilità su due di vincere, cosa che è oggettivamente impossibile.

Ripeto:
se scegliete una carta su 10 e poi eliminate 8 porte sbagliate, la probabilità di vincere è sempre di 1/10, almeno che voi non mischiate nuovamente le due carte e scegliate a caso tra le due. E', come usa dire, matematico.

[ser gio]

Scusa Grimagor, siceramente non capisco con che logica attribuisci ad Andrea questo ragionamento.

Perchè dici che la regola del gioco prevede l'eliminazione delle 999 porte? Non è così!

La regola del gioco prevede che vengano eliminate 998. A quel punto DEVE intervenire la scelta del giocatore, che in fondo sceglie fra due...
10,

Sergio

La regola del gioco prevede che vengano eliminate 999 e solo una sia vincente e la scelta del giocatore si ha all'inizio del gioco, non alla fine.
Ma anche se fosse come dici te, avremmo che scegliendo una porta su 1000 abbiamo una possibilità su due di vincere, cosa che è oggettivamente impossibile.

Ma scusa non è vero..
Io la metterei così,

Nel gioco si fanno due scelte una all'inizio e una quasi alla fine, la prima scelta non è significativa, perchè non è definitiva, puoi come dire modificarla, quindi non ha senso logico considerarla più di tanto, la vera scelta è l'ultima, la definitiva.

Poi certo guardano la situazione da una propspettiva cronologicamente "iniziale" non ha senso dire che la probabilità sia 1 su due.

Ma significativamente la situazione ha senso guardarla e posizionarsi nel momento finale, quando mi si chiede vuoi cambiare o no..

"probabilisticamente, vi conviene mantenere la vostra scelta iniziale o cambiarla? "

E' questo il punto cruciale, e da qui che l'intera questione andrebbe guardata, guardare la situazione da un'altra prospettiva (iniziale) può essere anche far apparire esatta la spigazione matematica, ed sarà esatta davvero non lo metto in dubbio, ma semplicemente non ha senso.

Perdonatemi, facendo calcoli matematici tutti i numeri hanno pari importanza e uno non può essere considerato più o meno di un altro, nella realtà però, una parte di una situazione essendo avvenuta cronologicamente dopo può aver maggior valore, può essere più significativa, semplicemente perchè la prima situazione non esiste più gli eventi che si sono susseguiti l'hanno traformata in una cosa diversa.

Non si può non tenerne conto


Sergio

[proc]

Ragazzi scusatemi se vi ho abbandonato nel bel mezzo della discussione. In questi giorni sono stato molto molto impegnato.

Solo stasera sono riuscito a rifiatare. Visto che sono + capace con i numeri che con le parole, in mezz'ora libera dopo cena, ho scritto un semplicissimo codice di poche righe (che posso spedire a chiunque lo voglia leggere) per simulare la probabilità di vincita e perdita in tre casi:

A) Solo una scelta senza intervento del presentatore
B) Intervento del presentatore e seconda scelta come da gioco originale MH
C) Intervento del presentatore e seconda scelta dopo aver rimescolato le due carte rimanenti.

Ecco l'output del codice:


Numero di eventi 100000000
A) Prob. di perdita e vincita con 1 scelta senza presentatore e senza seconda scelta Perde=66.66% Vince=0.3334%
B) Prob. di perdita e vincita cambiando senza mescolare Perde=33.34% Vince=66.66%
C) Prob. di perdita e vincita cambiando dopo aver mescolato le due rimanenti carte Perde=50.00% Vince=50.00%

Per ottenere delle probabilità molto accurate ho simulato un numero di eventi molto grande (gira comunque in pochi secondi sul mio laptop) ma già per poche centinaia di "prove" i trend sono molto chiari.

Spero di essere stato di qualche utilità.

Proc

[Andrea]

A) Prob. di perdita e vincita con 1 scelta senza presentatore e senza seconda scelta Perde=66.66% Vince=0.3334%
B) Prob. di perdita e vincita cambiando senza mescolare Perde=33.34% Vince=66.66%
C) Prob. di perdita e vincita cambiando dopo aver mescolato le due rimanenti carte Perde=50.00% Vince=50.00%

E' quello che avevo scritto anch'io.

[Andrea]

Riesumo questo thread per biechi motivi personali: mio fratello ha scoperto che frequento questo forum, probabilmente si è andato a leggere tutti i miei vecchi interventi e stamattina mi prendeva per in giro perchè non arrivo a capire il paradosso di Monty Hall. :-)
Quindi, al fine di evitare di ricevere in futuro lo stesso trattamento da un altro parente, cerco di chiarire meglio il mio pensiero.

Il paradosso di Monty Hall è così enunciato (e non si può uscire molto dalla trama principale, perchè altrimenti se la storiella cambia in alcuni tratti fondamentali si deve fare un ragionamento diverso e più appropriato al nuovo paradosso).

Ci sono 3 porte, dietro una c'è un premio, mentre le altre due sono vuote.
Il presentatore (che sa dove è celato il premio) chiede al concorrente di scegliere una porta e poi ne apre una delle due restanti mostrando che è vuota.
A questo punto il presentatore chiede al concorrente se vuole tenere la porta che ha scelto inizialmente o se vuole cambiare.

Attenzione: al concorrente resta una sola possibilità di scelta poi dovrà andare a casa. Non può ripetere il gioco 100, 1000 o infinite volte. Ha una sola possibilità.

Tenere o cambiare? Questo è il problema.

La mia risposta è che è indifferente perchè dietro ogni porta c'è indifferentemente il 33.3(periodico)% di probabilità (o il 50% a seconda del momento in cui si calcola) di trovare il premio e quindi una porta vale l'altra.

La risposta dei matematici è che dietro la porta inizialmente non scelta e poi lasciata chiusa dal presentatore c'è il 66.6(periodico)% di probabilità di trovare il premio e quindi conviene cambiare.

Finito.

Ciao fratello e futuri lettori conoscenti! :-)

[grimgor]

Il concetto è piuttosto semplice, anche se come dice il nome, è un paradosso, ossia una cosa all'apparenza contraddittoria.


Quando all'inizio te scegli, la possibilità di prendere la vincente è del 33%. Ogni porta ha il 33% di essere la vincente. Scegliendo all'inizio in pratica crei 2 gruppi distinti: il tuo gruppo e quello che rimane. Nel tuo gruppo la probabilità che ci sia la porta vincente è del 33%, nell'altro gruppo è del 66% (dato che ci sono 2 porte). Se le cose rimanessero così, cambiare porta non avrebbe una logica a livello statistico, dato che le porte sono statisticamente identiche.
A questo punto però entra in gioco il presentatore che elimina dal gruppo non tuo una porta. Questo evento modifica enormemente gli equilibri del gioco: infatti ora la possibilità che la porta vincente sia nel gruppo non tuo passa dal 66% su due porte (quindi 33% per porta) al 66% su una porta sola. Le possibilità di vittoria non cambiano nei 2 gruppi: il tuo ha sempre il 33% e l'altro ha sempre il 66%. Ciò che cambia è che eliminando una porta sbagliata, l'altra porta che rimane ha ora il 66% di possibilità di essere la vincente, perchè è rimasta l'ultima porta del gruppo.


Per chiarire il concetto secondo me è utilie estremizzare il concetto.

Solito gioco, solite regole ma con 1000 porte. Te scegli una porta all'inizio (quindi 0.1% che sia la vincente) e come di consueto si creano 2 gruppi: il tuo, con una porta sola, l'altro con 999. Percentualmente le possibilità sono 0.1% per te (una porta sola) e 99.9% per l'altro gruppo (0.1% x 999 porte).
A questo punto il conduttore ti elimina 998 porte. Te cosa faresti, cambieresti porta oppure no?

[Andrea]

Sinceramente non volevo riaprire la discussione, volevo solo chiarire il mio pensiero agli eventuali futuri lettori, anche perchè ne abbiamo già parlato e straparlato, ma siccome a me piace discutere, seguo volentieri il tuo ragionamento.

Quando all'inizio te scegli, la possibilità di prendere la vincente è del 33%. Ogni porta ha il 33% di essere la vincente. Scegliendo all'inizio in pratica crei 2 gruppi distinti: il tuo gruppo e quello che rimane. Nel tuo gruppo la probabilità che ci sia la porta vincente è del 33%, nell'altro gruppo è del 66% (dato che ci sono 2 porte). Se le cose rimanessero così, cambiare porta non avrebbe una logica a livello statistico, dato che le porte sono statisticamente identiche.
A questo punto però entra in gioco il presentatore che elimina dal gruppo non tuo una porta. Questo evento modifica enormemente gli equilibri del gioco: infatti ora la possibilità che la porta vincente sia nel gruppo non tuo passa dal 66% su due porte (quindi 33% per porta) al 66% su una porta sola. Le possibilità di vittoria non cambiano nei 2 gruppi: il tuo ha sempre il 33% e l'altro ha sempre il 66%. Ciò che cambia è che eliminando una porta sbagliata, l'altra porta che rimane ha ora il 66% di possibilità di essere la vincente, perchè è rimasta l'ultima porta del gruppo.

Ok, parliamo di gruppi.
Mi permetto di riformulare il tuo ragionamento.
Tu mi chiedi: "E' più probabile che il premio sia dietro al gruppo formato da una porta o dietro al gruppo formato da due porte?".
E' ovvio che in questo caso, anch'io sceglierei il gruppo delle due porte.
Il motivo è palese e non c'è niente di paradossale.

Ma poi lo scenario cambia e il concorrente si trova davanti a due gruppi in cui ogni gruppo è formato da una sola porta e quindi dal mio punto di vista questi due gruppi hanno entrambi il 50% di probabilità di essere i gruppi vincenti.
Per cui per me è indifferente sceglierne uno o l'altro.

La differenza è che nel passaggio dal primo al secondo scenario, tu sommi le probabilità precedenti calcolate, io invece le ricalcolo da zero.

[anonimo]

[youtube]o_djTy3G0pg[/youtube]

qui c'è la verifica sperimentale.... 16/20 contro 2/20 (correzione perche avevo scritto 50) E' in inglese ma si capisce.... e si capisce anche che il tipo, nonostante la prova, rimane comunque perplesso

Gli statistici hanno osservato empiricamente che dopo una serie di 30 o più dati, la distribuzione degli ultimi assomiglia talmente tanto ad una gaussiana che è impossibile distinguere la distribuzione vera o propria dalla distribuzione normale. In sostanza, con più di 30 dati si ha una distribuzione approssimabile ad una gaussiana.

rileggevo questo........ ma non lo capisco, vorresti dire che una distribuzione statistica tipo la binomiale o la poissoniana tendono ad una gaussiana quando il numero di dati è superiore a 30?
Non mi quadra... non credo siano i dati ma il numero di "fattori" che concorrono all'aleatorietà ...altrimenti che senso avrebbero le altre distribuzioni se valessero solo per numeri così piccoli?