Geometria

[gmgd]

Il mio incarico e di seguire mio figlio (seconda media) nei compiti
di matematica, geometria e scienze,
un po con quello che ricordo un po seguendo il libro mi pare di riuscirci
benino,

siamo arrivati a Pitagora,
l'abbiamo capito (almeno mi sembra) i problemi non ci danno pochissime noie,
senonchè stasera si è presentato un problema con un intoppo,
non vorrei che per la sua risoluzione ci sia bisogno di altre nozioni che vanno
oltre Pitagora.
Il problema è questo:
un triangolo rettangolo con area pari a 21450 e con i cateti, uno è i 3/4 dell'altro.
Calcola il perimetro.

Fin qui nessuna difficoltà, anche il ragazzo dopo qualche piccola imbeccata l'ha capito,
poi ci chiede:
Calcola la misura dell'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo.
E qui mi viene il dubbio che le nozioni studiate fino ad ora non siano sufficienti
per la risoluzione di tale quesito.

I risultati sono: Perimetro =717,48 e Altezza = 143,49

Datemi una mano a capire come stanno le cose, a quest'ora sono bello che cotto,
grazie.

[Robert]

Non ho fatto i calcoli, ma solo ragionamento. Una volta conosciuto i cateti e l'ipotenusa si disegna il triangolo con l'ipotenusa verso il basso tracci l'altezza dividendo il triangolo rettangolo in due triangoli rettangoli. L'area del triangolo principale e' dato dalla somma delle aree dei singoli triangoli, scrivi le formule ottieni un equazione. Da questa noti che la somma dei due cateti che costituivano l'ipotenusa del triangolo originale lo conosci, l'area la conosci, l'unica incognita e' l'altezza

[forUHMer]

radice( x ^2 + (3/4x) ^2 )=5/4 x perimetro = (3/4 + 4/4 + 5/4 ) x = 3x area = 1/2 3/4 x^2 = 3/8 x ^2 altezza sull'ipotenusa = 2 * 3/8 x ^2 / 5/4 x = 3/5 x x = radice (21450 * 8/3) =239.16

[mumu]

Io sono un po' arrugginito oltre che stanco, normalmente userei il CAD

Forse c'entra la terna pitagorica?

[forUHMer]

il primo è pitagora sui cateti mettendo x come incognita il cateto maggiore

edit: infatti Leo: 3 4 5

[gmgd]

La dobbiamo spiegare ad un ragazzo di 2a media.

[forUHMer]

se un cateto è 3/4 dell'altro , l'altro è 1 cioè 4/4 e l'ipotenusa è 5/4

l'area è 1/2 cateto per cateto cioè 3/8 ma siccome è anche lo stesso valore costruita sull'ipotenusa essa è 2 x 3/8 : 5/4 = 3/5 Il perimetro è 3/4 + 4/4 + 5/4 = 12/4 = 3

queste sono le proporzioni in cateti maggiori per le lunghezze e (cateti maggiori) al quadrato per l'area


EDIT "essa" intendevo l'altezza sull'ipotenusa

[Edo]

Il mio incarico e di seguire mio figlio (seconda media) nei compiti
di matematica, geometria e scienze,
un po con quello che ricordo un po seguendo il libro mi pare di riuscirci
benino,

siamo arrivati a Pitagora,
l'abbiamo capito (almeno mi sembra) i problemi non ci danno pochissime noie,
senonchè stasera si è presentato un problema con un intoppo,
non vorrei che per la sua risoluzione ci sia bisogno di altre nozioni che vanno
oltre Pitagora.
Il problema è questo:
un triangolo rettangolo con area pari a 21450 e con i cateti, uno è i 3/4 dell'altro.
Calcola il perimetro.

Fin qui nessuna difficoltà, anche il ragazzo dopo qualche piccola imbeccata l'ha capito,
poi ci chiede:
Calcola la misura dell'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo.
E qui mi viene il dubbio che le nozioni studiate fino ad ora non siano sufficienti
per la risoluzione di tale quesito.

I risultati sono: Perimetro =717,48 e Altezza = 143,49

Datemi una mano a capire come stanno le cose, a quest'ora sono bello che cotto,
grazie.

B = cateto minore = 3/4 A
A = cateto maggiore
C = ipotenusa
H = altezza sull'ipotenusa

B x A/2 = 21450

3/4A x A/2 = 21450

Da cui si ricavano:

B=179.37391
A=239.16521

C = Radice di (A2 + B2) = 298.95652

Da cui il perimetro = A + B + C = 717,49

L'angolo minore è: sin B/C = 36.869°

H = B x cos 36.869° = 143.5

[gmgd]

Il mio incarico e di seguire mio figlio (seconda media) nei compiti
di matematica, geometria e scienze,
un po con quello che ricordo un po seguendo il libro mi pare di riuscirci
benino,

siamo arrivati a Pitagora,
l'abbiamo capito (almeno mi sembra) i problemi non ci danno pochissime noie,
senonchè stasera si è presentato un problema con un intoppo,
non vorrei che per la sua risoluzione ci sia bisogno di altre nozioni che vanno
oltre Pitagora.
Il problema è questo:
un triangolo rettangolo con area pari a 21450 e con i cateti, uno è i 3/4 dell'altro.
Calcola il perimetro.

Fin qui nessuna difficoltà, anche il ragazzo dopo qualche piccola imbeccata l'ha capito,
poi ci chiede:
Calcola la misura dell'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo.
E qui mi viene il dubbio che le nozioni studiate fino ad ora non siano sufficienti
per la risoluzione di tale quesito.

I risultati sono: Perimetro =717,48 e Altezza = 143,49

Datemi una mano a capire come stanno le cose, a quest'ora sono bello che cotto,
grazie.

B = cateto minore = 3/4 A
A = cateto maggiore
C = ipotenusa
H = altezza sull'ipotenusa

B x A/2 = 21450

3/4A x A/2 = 21450

Da cui si ricavano:

B=179.37391
A=239.16521

C = Radice di (A2 + B2) = 298.95652

Da cui il perimetro = A + B + C = 717,49

L'angolo minore è: sin B/C = 36.869°

H = B x cos 36.869° = 143.5

Edo in 2a media non hanno ancora fatto la trigonometria.

[forUHMer]

quindi essendo tale lunghezza 239.16 tutti i fattori relativi alle lunghezze vanno moltiplicati per quello e le aree per 57200

quindi 179.37 239.16 298.95 i 3 cateti e il resto era dato o l'avevi scritto

[gmgd]

Fino al perimetro ci arriviamo alla grande,
è sull'altezza relativa all'ipotenusa che abbiamo difficoltà.

[Robert]

Fino al perimetro ci arriviamo alla grande,
è sull'altezza relativa all'ipotenusa che abbiamo difficoltà.

Michele, ma il mio ragionamento non quadra?

[forUHMer]

l'area la puoi ricavare indifferentemente facendo il prodotto dei due cateti e poi /2 oppure l'ipotenusa per l'altezza sull'ipotenusa /2 allora la calcolo (l'area) con i cateti e poi la uso per calcolare l'altezza sull'ipotenusa

[donhald0]

Fino al perimetro ci arriviamo alla grande,
è sull'altezza relativa all'ipotenusa che abbiamo difficoltà.

Michele, ma il mio ragionamento non quadra?

Secondo me il ragionamento di Robert è quello più semplice da capire per un
ragazzo di seconda media.

Dall'area calcoli i cateti (sapendo il loro rapporto di 3/4).
Dai cateti l'ipotenusa (ip) (teorema di pitagora) e quindi il perimetro.

Poi dette a e b le divisioni dell'ipotenusa determinate dall'altezza h sull'ipotenusa stessa,
queste sono due cateti di altrettanti triangoli rettangoli che hanno in comune il cateto
corrispondente all'altezza h.
La somma delle aree di questi due triangoli è pari all'area A del triangolo:

(h*a)/2 + (h*b)/2 = A

quindi

(h/2)*(a+b) = A

ma (a+b) = ip

da cui

(h/2)*ip = A

h = 2 * A / ip

[Robert]

H=(A*2)/c